Yalnızca birkaç ay önce aralarında önde gelen gazetelerin de olduğu bazı yabancı haber kaynakları Birleşik Krallık piyangosunu kazanmayı garantilemek için 27 bilet almak gerektiğini iddia etti. Şimdi önümüzde Türkiye’de yapılacak piyango çekilişi var ve büyük ikramiye hiç de azımsanacak gibi değil: 400 milyon Türk lirası. Hal böyleyken yaz aylarında manşet süsleyen o “27 biletle şansınızı garantileyin” haberinin ardındaki matematiği ele alalım.
Hikaye Manchester Üniversitesi’nde matematikçi David Cushing ve David Stewart’ın yakın zamanda kombinatoryal alanında yaptığı keşfe dayanıyor. Şu anda hakem incelemesinde olan keşfin ön değerlendirme sonuçlarına göre 1’den n’ye kadar sayıların alt kümelerinin belli koleksiyonları “piyango tasarımı” denen ilginç kombinatoryal unsurlar içeriyor.
Böyle deyince muhtemelen kafanızda bir şey canlanmadı. Örnek vererek ilerleyecek olursak {1, 2, 3} sayılarını ele alalım. Üç alt kümeden oluşacak bir kombinasyonda {{1,3}, {1,2},{2, 3}} görürüz. Bunu piyango tasarımı olarak değerlendirebilmek için kombinasyonun ekstra belli özellikler taşıması gerekir.
V kümesinden seçilen herhangi bir k elemanlı alt küme tanımlayacak olursak bu tasarım V ={1, 2, …,n} kümesinin k elemanlı alt kümelerinin koleksiyonu olan C’yi oluşturur. V kümesinden seçilen başka bir k elemanlı W alt kümesinde C içinde W ile en az t elemanı paylaşan bir alt küme olmak zorunda. Alt kümeleri piyango biletleri olarak düşünürsek n’den k kazanan numara çekilmişse piyango tasarımı, en azından t numarasını içeren sayılarla ortak olacaktır.
Yine bir örnekten gidelim: V = {1, 2, 3, 4, 5} olsun. n = 5, k = 3, t = 2 olursa alt kümelerden oluşan piyango tasarımı şu şekilde düşünülebilir:
C = {{1, 2, 3}, {2, 3, 4}, {3, 4, 5}, {1, 4, 5}}
Burada C’nin alt kümelerinde k = 3’ü görüyoruz. W alt kümesinde ise (mesela {2, 4, 5}), C içinde en az t = 2 elemanını paylaşan bir alt küme bulunuyor ({2, 3, 4})
Bu tasarım herhangi bir üçlü kombinasyonun en az iki ortak elemana sahip olduğu lotto sistemini temsil ediyor. Diyelim ki kazanan numaralar {2, 4, 5} oldu. Bu durumda {2, 3, 4} veya {3, 4, 5} seçilse bile en az iki kazanan rakama sahip olacağız.
İdeal bir piyango tasarımı mümkün olan en az sayıda biletin kullanıldığı tasarımdır ve bu en küçük sayı L(n, k, t) olarak gösterilir. Örneğin L(56, 6, 2) sayısı, 56 numaradan altı kazanan numaranın çekildiği varsayımsal piyangoda en az iki eşleşen numaraya garanti sahip olmak için ihtiyaç duyduğumuz en küçük bilet sayısını temsil ediyor. Kazanan iki numarayı denk getirmek amorti kazandığınız anlamına geliyor. Yani L(56, 6, 2) varsayımsal piyangomuzda ödül kazanmayı garantilemeniz için gereken en küçük sayı ve Cushing ile Stewart’ın çıkarımlarına göre bunun için alınması gereken en az bilet sayısı 27.
Aklınıza gelen bir başka soru “Amorti kazanmak için 27 bilet almaya değer mi?” olabilir. İngiltere’de bu biletleri almaya kalkarsanız size 54 sterline mal olur. Garanti edilen ödül ise kazanan numaralardan ikisini tutturmak ve bunun karşılığı da bir sonraki piyango çekilişi için bedava bilet kazanmak, yani verilen emeğe değer mi bilinmez. Cushing ve Stewart çalışmalarını bizzat sahada deneyimlemiş ve kazanımlarını 54 sterlinlik kayıp olarak değerlendiriyorlar. İkili “Bu talihsiz olay hem bizim vardığımız sonucu hem de kumar oynarken para kaybetmenin göze alınması gerektiği sonucunu doğruluyor” diyor.
