Geride bıraktığımız haftanın önemli bilim haberlerinden biri Uluslararası Matematik Olimpiyatında sorulan 30 geometri sorusundan 25’ini çözmeyi başaran yapay zekayla ilgiliydi. Bunu 10Haber’de okudunuz zaten.

Bu haberi önemli yapan şey bir yapay zekanın belki de ilk kez insan seviyesinde akıl yürütmeyi başarmaya yaklaşmasıydı. Yani bazılarımızın yapay zekayla ilgili korkularının en temeline inmesi, insan seviyesini yakalamayı kendine hedef seçip bir ölçüde de başarılı olmasıydı.

Bu konu öyle üstünde fazla durmadan geçilecek bir konu değil. Ama meseleyi tam anlamak için hem geçmişe dönüp matematik tarihine, hem de insan aklının matematik problemlerinde nasıl çalıştığına bakmak gerekiyor.

Önce geçmişe dönüp iki örneği kısaca görelim:

Tarihin ilk bilgisayar programı: Öklid geometrisi

Öklid milattan önce 330 – 275 yılları arasında yaşamış, geometrinin ama daha önemlisi matematikte ‘aksiyomatik sistem’ diye bilinen sistemin kurucusu. Belki şöyle de diyebiliriz: Tarihin ilk bilgisayar programı yazan insanı.

Neden bilgisayar programı? Çünkü Öklid’in kurduğu geometri peşinen doğru kabul edilmiş (aksiyom) bazı kurallara bağlı. Bu kuralları yazmış Öklid, sonra da bu kurallardan hareketle çeşitli teoremler kaleme almış. Örneğin ‘Herhangi bir noktadan herhangi başka bir noktaya bir düz doğru çizmek mümkündür’ demiş. Örneğin ‘Herhangi bir merkez ve herhangi bir yarıçap ile bir çember tanımlamak mümkündür’ demiş.

Böyle 10 ‘aksiyom’u var Öklid’in. Bunlardan ilk beşine ‘postula’ adı veriliyor, son beşine ise ‘ortak kanı.’

Bunların hepsini biz ortaokul ve lisede öğrendik. Öklid sisteminin özelliği bu kapalı ve kesinkes belirlenmiş kuralları sayesinde baştan sona tutarlı olması.

Ama ya Öklid geometrisi ‘eksik’se

Buradaki ‘tutarlı’ kelimesi çok önemli. Çünkü belki yüzyıllar boyunca Öklid’in 5 numaralı postulası aslında kendi içinde yeterince tutarlı bulunmamış ve tartışılmış. Bir hayli karışık ifade edilen bu postula şöyle: ‘Eğer iki doğru ile kesişen bir doğru çizilirse, iki doğrunun birbirine bakan tarafında yer alan ve onları kesen doğrunun bir tarafında kalan iki açının toplamı iki dik açıdan küçükse bu iki doğru açıların toplamının iki dik açıdan az olduğu tarafta uzatılmaya devam ederlerse ileride bir noktada kesişecekleri doğrudur.’

Biz bu postulayı okulda basitçe ‘Paralelin çizgileri sonsuza kadar kesişmez’ diye öğrendik.

Gerçekten de iki boyutlu bir evrende bu paralel sonsuza kadar paralel olarak devam edebilir. Ama bizler hayatımızı iki boyutlu değil üç, hatta zamanı da eklersek dört boyutlu bir evrende yaşıyoruz.

Ancak insanlığın Öklid geometrisine bakıp bu basit fikri sıçramayı (2D’den 3D’ye) yapması iki bin yılını almış. Ancak 19. yüzyılda bugün adına artık ‘uzay geometrisi’ de dediğimiz Öklid dışı geometriler olabileceği düşünülmüş.

Bütün matematiği aksiyomatik yapabilir miyiz?

Matematik tarihinden ikinci örnek, 19. yüzyılın sonu ile 20. yüzyılın ilk yarısına ait.

Bu dönemde matematikçiler Öklid’in iki bin yıldan fazla zaman önce geometri için yaptığını aritmetik için de yapmanın mümkün olup olmayacağını sorgulamaya başlamış.

Buna ‘matematiğin formelleştirilmesi’ adı veriliyor. Yani bir dizi aksiyom belirleyip sonra bu aksiyomların üzerine bütün matematiği tutarlı biçimde bina etmek mümkün mü? Bu soruya cevap aranmış.

Kurt Gödel hayalleri yıkıyor

İki dev İngiliz matematikçi ve mantıkçı, Bertrand Russel ile Alfred Whitehead bu amaçla Pirincipia Mathematica adlı anıtsal bir eser yazdı. Ama amacı gerçekleştirmeyi aslında başaramadılar.

Onların bu çabasını 1936 yılında genç bir Avusturyalı dahi, Kurt Gödel boşa çıkardı. Gödel’in kanıtlamasını anlatmak bu yazının sınırlarının çok ötesinde bir şey, kabaca şunu söyleyeyim sadece: Gödel mevcut matematik kurallarının içinde kalarak matematiğin ‘tutarlı’ bir sistem olduğunun gösterilemeyeceğini kanıtladı.

Matematikte bazı çözülmemiş problemler var. Gödel bu problemlerin bazılarının mevcut matematik kurallarıyla hiçbir zaman çözülemeyeceğini, bunların doğruluğu veya yanlışlığının hiçbir zaman kanıtlanamayacağını gösterdi.

Yani ‘matematiksel ispat’ denen şeyin de sınırları vardı. Her şeyi ispat edemezdiniz.

İlk bilgisayar ve akla getirdiği ilk soru

1940’lı yıllarda bir başka büyük İngiliz matematikçi Alan Turing 2. Dünya Savaşı’nın getirdiği zorunluklarla başa çıkmak için (Almanya’nın gizli şifrelerini çözebilmek için) ilk modern bilgisayarı yaptı. Tabii makineyi yapmazdan önce bu makinenin matematiksel teorisini de yazması gerekiyordu, onu da icat etti.

Yaptığı şey bir ‘hesaplayıcı’ydı. Computer, yani hesaplayıcı. Turing bir dev hesap makinesi yaptığını biliyordu ve merak ettiği şuydu: Acaba ‘düşünen makine’ de yapılabilir miydi?

Evet, bilgisayarların daha teorisinin ortaya çıktığı günden beri insanlığın aklında bu var: Düşünen makine olabilir mi?

Turing daha da ileri gitti, ileride ‘düşünen makine’ gibi davranan makinelerin olabileceğini, ama bunların çoğunlukla sadece birer ‘taklitçi’ olacağını düşündü; gerçek bir insan ile taklitçiyi ayırt edecek bir test (Turing Testi) geliştirdi. İddiası bir makine ancak bu testi geçecek olursa ona ‘düşünen makine’ denebilirdi.

Matematik tutarlı olsaydı…

Bugün kullandığımız bilgisayarların ardında yatan matematiksel teoriyi Alan Turing yazdı. Ama bilgisayarlarımızın nasıl çalıştığını belirleyen mimariyi bir başka üstün matematikçi olan Macaristan asıllı John von Neumann geliştirdi.

von Neumann pek çok bakımdan ‘dahi’ sıfatını hak eden bir isimdi ama bilgisayarlar için mimariyi geliştirirken elinde bir tek aleti vardı: Mantık.

Mantık da ona kaçınılmaz biçimde 0 ve 1’lerle konuşmayı emrediyordu. Yani bugünkü modern bilgisayarımızın içinde milyarlarca elektrik düğmesi var; bu düğmeler ya açık (1) ya da kapalı (0) pozisyonda.

Bu ikileme kaçınılmaz biçimde sonuçları da belirliyor: Bir bilgisayar sizin sorduğunuz soruya hiçbir zaman ‘belki’ diye cevap vermez, veremez. Bilgisayar açısından cevap ya doğrudur ya yanlış. Ortası yok.

Az önce aktardım, Kurt Gödel sayesinde hepimiz biliyoruz: Matematikte her sorunun cevabı yok. Bazı soruların cevabının ‘doğru’ (1) veya ‘yanlış’ (0) olduğuna karar veremiyoruz işte. Bu sorular ve cevapları ‘belki doğru belki yanlış.’

Neyse ki bu çeşit karar verilemez soruların sayısı çok da fazla değil, ama varlar işte.

Eğer matematik tutarlı olsaydı John von Neumann’ın bilgisayar mimarisinin kaçınılmaz kısıtlarına rağmen bir ‘düşünen makine’ yapılabilirdi. Yani ‘genel yapay zeka’ denen şey mümkün olabilirdi. Ama Kurt Gödel kısıtı yüzünden mümkün değil.

‘Impossible is nothing…’

Yapay zekanın insandan daha iyi olma olasılığı için ben burada ‘imkansız’ diyorum ama bu bilgiye sadece ben sahip değilim. Elbette bilgisayar bilimiyle uğraşan herkes bu kısıtların farkında. Üstelik o kısıt demir gibi bir mantıktan geliyor. Ama bu kimseyi yıldırmıyor; yine de bir yol arıyorlar. Adidas’ın reklam sloganını dinliyor onlar: Impossible is nothing… Yani ‘imkansız hiçbir şeydir.’

Bir kere elde edilen başarıyı kutlamak lazım. Neredeyse mükemmel taklitçi yaratmayı başardılar. ‘Geniş dil modeli’ adı verilen yöntemle geliştirilen sohbet robotlarını insandan ayırt etmek kolay değil. Hatta hatırlayın, geçen yıl Google’da bir mühendis bu şirketin içindeki sohbet robotunun ‘bilinçli’ olduğunu öne sürdü, ona avukat tutmaya kalkıştı.

Bugün milyonlarca insan her gün bu sohbet robotlarıyla sanki karşılarında bir başka insan varmış gibi sohbet ediyor.

Alan Turing’in ‘Imitatiton game’ (Taklit oyunu) adını verdiği durum neredeyse gerçekleşmiş durumda (Aynı isimli filmi izlemediyseniz tavsiye ederim).

Fakat tabii en iyi bilenler o yapay zeka programlarını yaratanlar: Yaptıklarının ‘taklit’ olduğunu biliyorlar ve ‘düşünen makine’ye ulaşabilmek istiyorlar.

Peki ama ‘düşünme’ dediğimiz şey nedir?

Bilgisayar bilimcilerin dönüp baktığı yer insan beyni.

Bizim ‘zeka’ diye adlandırdığımız şey aslında hızlı düşünme ve yeni durumlara hızla adapte olma yeteneğimiz. Çoğu zaman ‘zeka’ dediğimizde aslında ‘akıl’ı kastediyoruz. Akıl, yani beynimizin düşünce üretmesi.

Mevcut yapay zeka ‘zeka’ sorununu çözmüş gibi neredeyse. Makineler size büyük bir hızla cevap veriyor. Ama ‘akıl’ sorunu çözülmüş değil; makineler henüz ‘düşünmüyor.’

Dünya üzerinde belki onbinlerce sinir bilimci (neuroscientist) insan düşüncesinin veya aklının nasıl ortaya çıktığının sırrını çözemeye çalışıyor. Ciddi bazı ilerlemeler var ama henüz bu sırrın çözüldüğünü söylemek mümkün değil.

Onlar bu soruya cevap ararken bilgisayar bilimciler de kollarını kavuşturmuş bu cevabı bekliyor değiller. Uzun zamandan beri insan aklının veya düşüncesinin en keskin noktası olan matematiksel düşünme konusunda ilerlemek istiyorlar.

Matematiksel akıl yürütme nedir?

İşte bu hafta Google’a ait meşhur DeepMind şirketinin açıkladığı gelişme tam burada önem kazanıyor. Şirket, matematik olimpiyatında sorulan 30 geometri sorusunu kendi geliştirdiği yeni yapay zeka modeline sormuş ve verilen süre içinde (dört saatten fazla) 25 soruya doğru cevap almış.

Meraklısına burada linkini veriyorum, AlphaGeometry adlı yapay zekanın bunu nasıl başardığına dair ayrıntılar ve yöntem önemli. Aynı konuyu Nature dergisi ve The New York Times gazetesi de anlattı, onların linklerine de bakabilirsiniz.

Bu haberlerden de anlaşılıyor, yeni yapay zeka da aslında iyi bir taklitçi olmaya çalışıyor. Bu taklitçilikte de hayli başarılı olduğu 30 sorudan 25’ini doğru çözmesinden anlaşılıyor zaten. Problemle uğraşırken onlarca yöntemi art arda deniyor, yanlışlardan hemen vaz geçiyor, yeniden deniyor.

Ama yine de bu modelin ‘düşündüğünü’ söylemek doğru olmaz. Çünkü insanlar karşılarına çıkan matematiksel sorunlarda aynı anda iki yöntem kullanır.

Birinci yöntem yapay zekanın da kullandığı yöntemdir. Ezbere dayalıdır. Geçmişte çözdüğümüz benzer problemlerden ve benzer hesaplardan yararlanırız. Üniversite sınavında test çözen öğrenciler çoğunlukla bu yöntemi kullanır, onun için de sınava hazırlanırken binlerce test çözerler…

İkinci yöntem ise ‘matematiksel akıl yürütme’ dediğimiz yöntemdir. Önce problemi çözmek için bir dizi akıl yürütme yapar, bir strateji belirleriz. Bu akıl yürütmelerimiz sırasında ezberimizde olmayan çok daha yeni yöntemler de bulabiliriz.

İki yöntem birbirini dışlamaz; aynı anda ikisini birden kullanırız zaten.

Yapay zekanın şimdilik eksikliği ikinci yöntemi uygulayacak silahlara sahip olmaması.

‘Gödel kısıtı aşılamaz’ diyerek kendimizi mi kandırıyoruz?

Matematik alanındaki en başarılı formelleştirme olan Öklid geometrisinin bile eksik olduğunun ortaya çıkması, bir sonraki formelleştirme girişiminin Kurt Gödel’in muhteşem kanıtlamasıyla çökmesi hayatın bütün alanlarının eksiksiz biçimde matematiğe dönüştürülemeyebileceğini bize gösterdi.

Bu da şimdilik yapay zekanın insandan daha üstün olması ihtimalinin önündeki en büyük engel olarak duruyor.

Ama belki de kendimizi avutuyoruz böyle diyerek. Çünkü, bugünkü emekleme çağı haliyle bile yapay zeka aslında ortalama insandan çok daha üstün. Çoğumuzdan daha düzgün cümleler kuruyor, kendini çoğumuzdan çok daha iyi ifade ediyor bir kere. Eh, AlphaGeometry adı verilen yazılım da geometri problemlerini insanların çoğundan çok daha iyi çözüyor.

Bazı tıbbi yapay zeka uygulamaları var; örneğin röntgen filmlerini insan doktorlardan daha dikkatli inceliyor ve insanların göremediği hastalıkları teşhis ediyor. Yapay zeka sayesinde insanların belki milyonlarca yılda çözebileceklerinden daha fazla proteini çözdük.

Yapay zeka pek çok aleti, ki bunlara uçak kullanmak da dahil, insandan çok daha iyi kullanıyor, neredeyse kusursuz iş yapıyor.

Dolayısıyla, evet hiçbir yapay zeka hiçbir zaman insan seviyesine ulaşamayacak belki, ama ‘insan seviyesi’ dediğimiz seviyeye de sadece çok az sayıda insan sahip zaten.